EE Omar Donato Bassani
Aluno(a)_______________________________________ 1º Ano
EM_________ Data____/___/2020
Atividade de Matemática – Professor: Antonio C Bugallo
Entrega: via email professor.acb.matematica@gmail.com
Progressão
Aritmética
Conteúdo: Progressão Aritmética-
Fórmula da Soma dos n termos de uma P.A. finita.
Desenvolvimento:
1. Introdução:
Em uma
pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor
Büttner propôs
aos alunos que somassem os números
naturais de 1 a 100. Apenas
três minutos depois, um garoto de apenas
oito anos de idade
aproximou-se do professor mostrando-lhe em sua prancheta o resultado. O professor, assombrado,
constatou que o resultado estava certo. Aquele garoto viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos:
Karl Friedrich Gauss (1777-1855).
O cálculo efetuado por ele
foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro
número, 1 com o último, 100 é igual a
101; a soma do segundo número, 2 com o penúltimo 99, é igual a 101; a soma
do terceiro número, 3 com o antepenúltipo,
98, é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Como são possíveis 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1+2+3+4+...+97=
98+99+100= 50.101= 5050.
Esse raciocínio, pode ser estendido para o cálculo
da soma dos n primeiros termos de uma progressão. A demonstração completa da fórmula da Soma de um P.A. encontramos
facilmente em qualquer livro. Portanto
vamos apresentar a Fórmula da
Soma de uma Progressão Aritmética finita:
Sn= (a1+an)
2
Onde: Sn
= Soma do n primeiros termos da P.A.
a1 = primeiro
termo. an = último
termo.
Com esta
teoria inicial podemos partir para alguns exemplos que vamos propor e
solucionar na própria aula:
●
Exemplo 1:
Achar a soma dos 30 primeiros
termos da P.A. (2,5,...). Solução:
Dados:
a1= 2 r = 3
n= 30 a30=?
Logo, percebemos que precisamos encontrar a30. Pela fórmula
do termo geral:
a30= a1 + (n-1)r Assim:
a30= 89
Portanto, pela fórmula da Soma da P.A. temos
que:
Sn= (a1+an) .n = (2+89).30 = 1365
2 2
● Exemplo 2:
Calcule a soma dos termos
da P.A. Finita
(5,8,11, ..., 122). Solução:
Dados:
a1= 5 r = 3
an= 122 n=?
Logo, percebemos que precisamos
encontrar n. Pela
fórmula do termo geral:
an= a1+ (n-1)r
122= 5 +(n-1).3 Logo n=40.
Portanto, pela fórmula
da Soma da P.A. Temos que: Sn=
(a1+an) .n
2
S40= (5+122).40 S40= 2540
2
2) Atividades:
Questão 1:
➢
Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A.(4,7,10,...).
Questão 2:
➢
Calcular a soma dos termos
da P.A.( -16, -14, -12, ..., 84).
Questão 3:
➢
Qual a soma dos cinquenta
primeiros números ímpares.
Questão 4:
➢
Determine a soma
de todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 1 e 100.
Questão 5: (Desafio)
➢
Um atleta corre
sempre 500 metros a mais do
que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, qual o número
de metros percorridos no terceiro
dia?
Progressão
Aritmética
•
Conteúdo:
Progressão Aritmética-Problemas envolvendo P.A..
Desenvolvimento:
1) Atividades:
Proponho uma lista de 10 exercícios para que exercitem o conteúdo dado ao longo das aulas anteriores.
Questão 1:
➢
Escreva a
sucessão: an = 1 e n Є N*.
n
Questão 2:
➢
Escreva a sequência definida
por an= n2+4.
Questão 3:
➢
Numa P.A., o primeiro termo é igual a razão
e a14 = 84. Calcule
a1 e a razão.
Questão 4:
➢
Obter uma P.A. de três termos cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja igual a 60.
Questão 5:
➢
Inscrevendo nove
meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto
termo da P.A..
Questão 6:
➢
Numa P.A. a2+ a6= 20 e a4+ a9= 35. Escreva a P.A..
Questão 7:
➢
Calcule a soma dos 50 primeiros
termos da P.A. (2,6,...).
Questão 8:
➢
Numa P.A. de
dez termos, o último termo é igual a 22 e a razão é igual a
2. Determine o primeiro
termo e a soma.
Questão 9:
➢
Calcule o
trigésimo termo da P.A. (-50,-46,...).
Questão 10: ( Desafio )
➢
Calcule o número
de termos da P.A.(7,9,11,13,...), sabendo que a soma deles
é 160.
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